Identitas Brahmagupta

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta menyatakan untuk $n$ yang diberikan, produk dari dua bilangan berbentuk $a^{2}+nb^{2}$ itu sendiri adalah bilangan dari bentuk tersebut. Dengan kata lain, himpunan bilangan tersebut adalah tertutup di bawah perkalian. Secara khusus:

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}

Baik (1) dan (2) dapat diverifikasi dengan pengembangan setiap sisi persamaan. Juga, (2) dapat diperoleh dari (1), atau (1) dari (2), dengan mengubah b menjadi −b.

Identitas ini berlaku baik dalam gelanggang bilangan bulat dan gelanggang bilangan rasional, dan khususnya dalam gelanggang komutatif mana pun.

Sejarah

Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut identitas Fibonacci (dimana n=1) yang sebenarnya ditemukan dalam Arithmetica Diophantus' (III, 19). Identitas tersebut ditemukan kembali oleh Brahmagupta (598–668), seorang matematikawan India dan astronom, yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut persamaan Pell. Brahmasphutasiddhanta miliknya diterjemahkan dari Sansekerta ke Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126.^[1] Identitas tersebut kemudian muncul dalam Book of Squares (Fibonacci) pada tahun 1225.

Penerapan persamaan Pell

Dalam konteks aslinya, Brahmagupta menerapkan penemuannya pada solusi dari apa yang kemudian disebut persamaan Pell, yaitu x² − Ny² = 1. Menggunakan identitas dalam formulir

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

ia "menyusun" rangkap tiga (x₁, y₁, k₁) dan (x₂, y₂, k₂) itu adalah solusi dari x² − Ny² = k, untuk menghasilkan rangkap tiga baru

(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).

Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk x² − Ny² = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan k₁k₂, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada tahun 1150, yaitu metode chakravala (siklik), juga didasarkan pada identitas ini.^[2]

Lihat pula

Referensi

^ George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, hal. 306. Pers Universitas Princeton. ISBN 0-691-00659-8.
^ John Stillwell (2002), Mathematics and its history (edisi ke-2), Springer, hlm. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

Pranala luar

Read other articles:

A-235 PL-19 Nudol

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. A-235 PL-19 Nudol (bahasa Rusia: Система А-235 / РТЦ-181М RTTs-181M / Нудоль) adalah sistem rudal anti-balistik dan senjata anti-satelit Rusia yang sedang dikembangkan. Rudal ini dirancang untuk menangkis serangan nuklir di Moskow...

Frank Bello

Frank Bello (lahir 9 Juli 1965 di Bronx, New York) adalah bassist kelompok musik Anthrax, menggantikan Dan Lilker sejak album Spreading the Disease. Ia hengkang dari Anthrax pada 2004 dan bergabung dengan Helmet, tetapi sekarang telah bergabung kembali. lbsAnthrax Scott Ian Charlie Benante Frank Bello Joey Belladonna Jonathan Donais Dan Lilker Greg D'Angelo Neil Turbin Dan Spitz Matt Fallon John Bush Paul Crook Dan Nelson Rob Caggiano David Weiss John Connelly Paul Kahn Kenny Kushner Greg Wal...

لويس فيرناندو تينا

لويس فيرناندو تينا معلومات شخصية الميلاد 20 يناير 1958 (66 سنة) مدينة مكسيكو الطول 1.80 م (5 قدم 11 بوصة) مركز اللعب وسط الجنسية المكسيك معلومات النادي النادي الحالي غواتيمالا (مدرب) المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1976–1982 أتلتيكو إسبانيول [الإنجليزية]&#...

دوري أيرلندا الشمالية الممتاز 2015–16

دوري أيرلندا الشمالية الممتاز 2015–16 تفاصيل الموسم دوري أيرلندا الشمالية الممتاز النسخة 8 البلد المملكة المتحدة التاريخ بداية:8 أغسطس 2015 نهاية:23 أبريل 2016 المنظم دوري أيرلندا الشمالية الممتاز البطل نادي كروسيدرز مباريات ملعوبة 228 عدد المشاركين 12 &#...

علاقات اليمن الخارجية

الدول التي يتربط اليمن بعلاقات دبلوماسية بها. جزء من سلسلة مقالات سياسة اليمناليمن الدستور نظام الحكم الدستور حقوق الإنسان السلطة التنفيذية رئيس مجلس القيادة الرئاسي رشاد محمد العليمي نواب رئيس مجلس القيادة الرئاسي سلطان علي العرادة طارق محمد صالح عبد الرحمن أبو زرعة عب�...

Bhogaraju Pattabhi Sitaramayya

Indian politician (1880–1959) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Bhogaraju Pattabhi Sitaramayya – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2019) (Learn how and when to remove this template message) Pattabhi Sitaramayya1st Governor of Madhya PradeshIn office1 November 1956 �...

Человек прямоходящий

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

Гленгарри

Гленгэрри Солдат Шотландского королевского полка в гленгэрри на параде Гле́нгарри, гле́нгэрри (англ. Glengarry cap, Glengarry hat) — шотландский национальный головной убор, сплюснутая с боков шапочка наподобие пилотки из плотной шерстяной ткани с ленточками сзади. Содержание ...

Чайки

У этого термина существуют и другие значения, см. Чайки (значения). Чайки Доминиканская чайкаЗападная чайкаКалифорнийская чайкаМорская чайка Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:Вторич...

RRP9

RRP9 التراكيب المتوفرة بنك بيانات البروتينOrtholog search: PDBe RCSB قائمة رموز معرفات بنك بيانات البروتين 4J0W, 4JXM المعرفات الأسماء المستعارة RRP9, RNU3IP2, U3-55K, ribosomal RNA processing 9, small subunit (SSU) processome component, homolog (yeast), ribosomal RNA processing 9, U3 small nucleolar RNA binding protein معرفات خارجية MGI: MGI:2384313 HomoloGene: 3452 GeneCards: 9136 علم ا...

Titan IIIE

Expendable launch system used by NASA Launch of a Titan IIIE with Voyager 2FunctionExpendable launch systemManufacturerMartin MariettaConvair Aerospace Division of General Dynamics(prime contractor for the third stage Centaur D-1T)Country of originUnited StatesSizeHeight48.8 meters (160 ft)[1]: 142 Diameter3.05 meters (10.0 ft)[1]: 142 Mass632,970 kilograms (1,395,460 lb)Stages3 with an option for 4Capacity Payload to Low Earth or...

العلاقات التركية الغواتيمالية

العلاقات التركية الغواتيمالية تركيا غواتيمالا تركيا غواتيمالا تعديل مصدري - تعديل العلاقات التركية الغواتيمالية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين تركيا وغواتيمالا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه ...

List of conflicts in Chad

Map showing the present-day location of the Republic of Chad (green) within Central Africa. This is a list of conflicts in Chad arranged chronologically from medieval to modern times. This list includes both nationwide and international types of war, including the following: wars of independence, liberation wars, colonial wars, undeclared wars, proxy wars, territorial disputes, and world wars. Also listed might be any battle that occurred within the territory of what is today known as the, R...

Search for Tomorrow

American soap opera (1951–86) Search for TomorrowGenreSoap operaCreated byRoy WinsorStarringMary StuartLarry HainesNarrated byDwight WeistComposerDick HymanCountry of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons35No. of episodes9,130ProductionCamera setupMulti-cameraRunning time15 minutes (1951–68)30 minutes (1968–86)Production companyProcter & Gamble ProductionsOriginal releaseNetworkCBS (1951–82)NBC (1982–86)ReleaseSeptember 3, 1951 (1951-09-03) –Decem...

Lidice massacre

1942 Nazi destruction of Czech village Lidice massacreLidice in 1942 after its destruction by the NazisLocationProtectorate of Bohemia and MoraviaDate10 June 1942TargetCzechsAttack typeMassacreWeaponsFirearmsDeaths340 including 82 children exterminated later after transfer to ChełmnoPerpetrators Nazi GermanyMotiveReprisal attack following the assassination of Reinhard Heydrich Memorial to the murdered children of Lidice Lidice museum The Lidice massacre (Czech: Vyhlazení Lidic) was the comp...

The Last Wright: Frank Lloyd Wright and the Park Inn Hotel

The Last Wright is an American documentary film released in 2008.[1] It focuses on the only surviving hotel designed by Frank Lloyd Wright. It was produced by Travelfilm Company and McMar Ltd/28, was written by Garry McGee and Lucille Carra, and directed by Lucille Carra. It was researched and filmed over a seven-year period, the film is the only video record of the distressed condition of the hotel.[citation needed] The film explores the history of the Mason City Bank and Hot...

Andrey Zelenskiy

Russian composer This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Andrey Zelenskiy – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2023) (Learn how and when to remove this message) Andre...

أمين العرم

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2020) اللواء أمين نجيب العرم رئيس الأركان العامة في الجيش اللبناني تولى المنصب22 آذار 2019 حاتم ملاك معلومات شخصية الميلاد 24 كانون الأول 1963بيروت، لبنان الديانة ...

歐洲區域或少數民族語言憲章

签署并批准的会员国（淺綠色）、签署但并未批准的会员国（深綠色）、未签署未批准的成员国（白色）和非歐洲委員會成員國（灰色）《歐洲區域或少數民族語言憲章》（英語：European Charter for Regional or Minority Languages，簡稱：ECRML）是一條由歐洲委員會支持下於1992年通過的歐洲條約（CETS 148），目的是保護和促進在歐洲的歷史性方言和少數民族語言。憲章僅適用於簽署國�...

Template talk:US-business-bio-stub

This template does not require a rating on Wikipedia's content assessment scale.It is of interest to the following WikiProjects:Stub sorting This template is maintained by WikiProject Stub sorting, an attempt to bring some sort of order to Wikipedia. If you would like to participate, you can choose to improve/expand the articles containing this stub notice, or visit the project page, where you can join the project and see a list of open tasks.Stub sortingWikipedia:WikiProject Stub sortingTemp...