Dalam aljabar abstrak, gagasan tentang elemen invers atau unsur kebalikan adalah menggeneralisasi konsep negasi (invers tanda) (dalam kaitannya dengan penambahan) dan perkalian). Intuisi adalah elemen yang dapat 'membatalkan' efek kombinasi dengan elemen tertentu lainnya. Sementara definisi yang tepat dari elemen invers bervariasi tergantung pada struktur aljabar yang terlibat, definisi ini bertepatan dalam grup.

Kata 'inverse' berasal dari bahasa Latin: inversus itu berarti 'terbalik'.

Maka ${\displaystyle S}$ menjadi himpunan tertutup di bawah operasi biner ${\displaystyle *}$ (yaitu, magma). Jika ${\displaystyle e}$ adalah elemen identitas dari ${\displaystyle (S,*)}$ (yaitu, S adalah magma unital) dan ${\displaystyle a*b=e}$, lalu ${\displaystyle a}$ disebut inversi kiri dari ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle b}$ disebut invers kanan dari ${\displaystyle a}$. Jika sebuah elemen ${\displaystyle x}$ merupakan invers kiri dan invers kanan ${\displaystyle y}$, maka ${\displaystyle x}$ disebut dua sisi invers, atau hanya sebuah invers, dari ${\displaystyle y}$. Elemen dengan inversi dua sisi di ${\displaystyle S}$ disebut invertibel pada ${\displaystyle S}$. Sebuah elemen dengan elemen invers hanya di satu sisi adalah invers kiri atau invers kanan. Magma unital di mana semua elemen dapat dibalik disebut putaran. Sebuah loop yang operasi binernya memenuhi hukum asosiatif adalah grup.

Seperti ${\displaystyle (S,*)}$ dapat memiliki beberapa identitas kiri atau beberapa identitas kanan, hal ini dimungkinkan untuk elemen memiliki beberapa invers kiri atau beberapa invers kanan (tetapi perhatikan bahwa definisi mereka di atas menggunakan identitas dua sisi ${\displaystyle e}$). Ia bahkan dapat memiliki beberapa inversi kiri dan beberapa invers kanan.

Jika operasi ${\displaystyle *}$ adalah asosiatif maka jika sebuah elemen memiliki invers kiri dan invers kanan, keduanya sama. Dengan kata lain, dalam monoid (magma unital asosiatif) setiap elemen memiliki paling banyak satu invers (seperti yang didefinisikan di bagian ini). Dalam monoid, himpunan elemen pembalik (kiri dan kanan) adalah grup, yang disebut satuan grup dari ${\displaystyle S}$, dan dilambangkan dengan ${\displaystyle U(S)}$ atau H₁.

Sebuah elemen pembalik kiri adalah kiri, pembatalan, dan analog untuk kanan dan dua sisi.

Semua contoh di bagian ini melibatkan operator asosiatif, sehingga kita akan menggunakan istilah kiri / kanan invers untuk definisi berbasis magma unital, dan kuasi-invers untuk ver yang lebih umum.

Setiap bilangan riil ${\displaystyle x}$ memiliki pembalikan aditif (yaitu, kebalikan terhadap penambahan) yang diberikan oleh ${\displaystyle -x}$. Setiap bilangan riil bukan nol ${\displaystyle x}$ memiliki invers perkalian (yaitu, inversi terhadap perkalian) yang diberikan oleh ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ (atau ${\displaystyle x^{-1}}$). Sebaliknya, nol tidak memiliki pembalikan perkalian, tetapi memiliki kuasi-inversi yang unik, "${\displaystyle 0}$" itu sendiri.

Sebuah fungsi ${\displaystyle g}$ adalah kiri (resp. Kanan) invers dari suatu fungsi ${\displaystyle f}$ (untuk komposisi fungsi), jika dan hanya jika ${\displaystyle g\circ f}$ (${\displaystyle f\circ g}$) adalah fungsi identitas di domain (resp. Kodomain) dari ${\displaystyle f}$. Kebalikan dari sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ sering kali ditulis ${\displaystyle f^{-1}}$, tetapi notasi ini terkadang ambigu. Hanya bijeksi yang memiliki invers dua sisi, tetapi fungsi apapun memiliki kuasi-inversi, yaitu transformasi penuh. Monoid dari fungsi parsial juga teratur, sedangkan monoid transformasi parsial injeksi adalah semigrup invers prototipe.

Adjoin bawah dan atas dalam a (monoton) Galois connection, L dan G adalah quasi-invers satu sama lain, yaitu LGL = L dan ' 'GLG' '=' 'G' 'dan satu yang unik lain. Namun mereka tidak berbanding terbalik satu sama lain.

Sebuah matriks persegi ${\displaystyle M}$ dengan entri dalam sebuah bidang ${\displaystyle K}$ dapat dibalik (dalam himpunan semua matriks persegi yang sama ukuran, di bawah perkalian matriks) jika dan hanya jika determinan -nya berbeda dari nol. Jika determinan dari ${\displaystyle M}$ adalah nol, tidak mungkin untuk memiliki invers satu sisi; oleh karena itu invers kiri atau invers kanan menyiratkan keberadaan yang lain. Lihat matriks invers untuk informasi lebih lanjut.

Lebih umum lagi, matriks persegi di atas gelanggang komutatif ${\displaystyle R}$ dapat dibalik jika dan hanya jika determinannya dapat dibalik ${\displaystyle R}$.

Matriks non-kuadrat peringkat penuh memiliki beberapa invers satu sisi:^[1]

• Untuk ${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$ kita telah meninggalkan invers, yaitu: ${\displaystyle \underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{kiri}}^{-1}}A=I_{n}}$
• Untuk ${\displaystyle A:m\times n\mid m<n}$ kita memiliki invers yang benar, misalnya: ${\displaystyle A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{kanan}}^{-1}}=I_{m}}$

Pembalikan kiri dapat digunakan untuk menentukan solusi norma terkecil dari ${\displaystyle Ax=b}$, yang juga merupakan rumus kuadrat terkecil untuk regresi dan diberikan oleh ${\displaystyle x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.}$

Tidak ada matriks kekurangan peringkat yang memiliki invers (bahkan satu sisi). Namun, invers Moore-Penrose ada untuk semua matriks, dan bertepatan dengan kiri atau kanan (atau benar) terbalik jika ada.

Sebagai contoh invers matriks, pertimbangkan:

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

Begitu pula m < n, kami memiliki kebalikan yang benar, ${\displaystyle A_{\text{kanan}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.}$ Dengan komponen itu dihitung sebagai

${\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}$

Pembalikan kiri tidak ada, karena

${\displaystyle A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$

yang merupakan matriks tunggal, dan tidak dapat dibalik.

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)
• Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.  contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.
• Drazin, M.P., Regular semigroups with involution, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187
• Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.