Biliar dinamis

Biliar dinamis adalah sistem dinamis di mana partikel secara bergantian mengalami perubahan kondisi laju dari gerak bebas (umumnya sebagai gerak lurus) dan pantulan spekular pada garis batas. Ketika partikel menabrak garis batas, ia akan memantul tanpa kehilangan kecepatan (tumbukan elastis). Biliar adalah idealisasi mekanika Hamiltonian dari permainan biliar, dengan garis batas tidak selalu berwujud segi empat, bahkan bisa berwujud multidimensi. Biliar dinamis juga dapat dipelajari pada geometri non-euklides, bahkan studi pertama tentang biliar menetapkan gerak ergodik bola biliar pada permukaan kurvatur yang secara kosntan negatif. Studi tentang biliar di mana bola biliar tetap berada di luar area, disebut dengan teori biliar luar.

Gerak partikel biliar adalah garis lurus, dengan energi yang konstan antara pantulan-pantulan yang terjadi dengan garis batas (bersifat geodesik jika metrik Riemannian meja biliar tidak rata). Seluruh pantulan adalah bersifat spekular. Sudut datang sebelum tumbukan adalah setara dengan sudut pantul setelah tumbukan. Serangkaian pantulan dapat dipetakan, yang menggambarkan karakteristik dari gerak partikel.

Biliar merangkum seluruh kompleksitas dari sistem Hamiltonian, dari integrabilitas hingga teori chaos tanpa kerumitan dalam mengintegrasikan persamaan gerak untuk menentukan peta Poincaré-nya. George David Birkhoff menunjukkan bahwa sistem biliar dengan meja yang berbentuk elips bersifat terintegerasi.

Referensi

Sinai, Ya. G. (1963). "[On the foundations of the ergodic hypothesis for a dynamical system of statistical mechanics]". Doklady Akademii Nauk SSSR (dalam bahasa Russian). 153 (6): 1261–1264. (in English, Sov. Math Dokl. 4 (1963) pp. 1818–1822).
Ya. G. Sinai, "Dynamical Systems with Elastic Reflections", Russian Mathematical Surveys, 25, (1970) pp. 137–191.
V. I. Arnold and A. Avez, Théorie ergodique des systèms dynamiques, (1967), Gauthier-Villars, Paris. (English edition: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968). (Provides discussion and references for Sinai's billiards.)
D. Heitmann, J.P. Kotthaus, "The Spectroscopy of Quantum Dot Arrays", Physics Today (1993) pp. 56–63. (Provides a review of experimental tests of quantum versions of Sinai's billiards realized as nano-scale (mesoscopic) structures on silicon wafers.)
S. Sridhar and W. T. Lu, "Sinai Billiards, Ruelle Zeta-functions and Ruelle Resonances: Microwave Experiments", (2002) Journal of Statistical Physics, Vol. 108 Nos. 5/6, pp. 755–766.
Linas Vepstas, Sinai's Billiards, (2001). (Provides ray-traced images of Sinai's billiards in three-dimensional space. These images provide a graphic, intuitive demonstration of the strong ergodicity of the system.)
N. Chernov and R. Markarian, "Chaotic Billiards", 2006, Mathematical survey and monographs nº 127, AMS.

T. Schürmann and I. Hoffmann, The entropy of strange billiards inside n-simplexes. J. Phys. A28, page 5033ff, 1995. PDF-Document

L.A.Bunimovich (1979). "On the Ergodic Properties of Nowhere Dispersing Billiards". Commun Math Phys. 65 (3): 295–312. Bibcode:1979CMaPh..65..295B. doi:10.1007/BF01197884.
L.A.Bunimovich; Ya. G. Sinai (1980). "Markov Partitions for Dispersed Billiards". Commun Math Phys. 78 (2): 247–280. Bibcode:1980CMaPh..78..247B. doi:10.1007/bf01942372.
Flash animation illustrating the chaotic Bunimovich Stadium

M. V. Deryabin and L. D. Pustyl'nikov, "Generalized relativistic billiards", Reg. and Chaotic Dyn. 8(3), pp. 283–296 (2003).
M. V. Deryabin and L. D. Pustyl'nikov, "On Generalized Relativistic Billiards in External Force Fields", Letters in Mathematical Physics, 63(3), pp. 195–207 (2003).
M. V. Deryabin and L. D. Pustyl'nikov, "Exponential attractors in generalized relativistic billiards", Comm. Math. Phys. 248(3), pp. 527–552 (2004).