Aksioma peluang

Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933.[1] Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.[2]

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian seringkali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.[3][4]

Aksioma Kolmogorov

Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran , dengan menyatakan peluang terjadinya kejadian dan , maka tripel adalah ruang peluang, dengan sebagai ruang sampel, sebagai ruang kejadian, dan sebagai ukuran peluang.[1]

Tak negatif

Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif.

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

Unitaritas

Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1.

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

Setiap barisan himpunan terhitung yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut. Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.[5]

Sifat-sifat peluang

Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti[6][7][8] dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang dan diambil sembarang . Beberapa sifat peluang antara lain:

Monoton

Jika , maka

Bukti:

Perhatikan himpunan dan himpunan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka Pada baris kedua, gabungan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan , sebab diketahui bahwa . Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh sehingga terbukti bahwa apabila .

Peluang dari himpunan kosong

Dalam banyak kasus, bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

Bukti:

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan , maka terbukti bahwa

Peluang komplemen

dengan menyatakan komplemen dari himpunan

Bukti:

Perhatikan himpunan dan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka , sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Nilai numerik

Bukti:

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya,

Aturan penjumlahan

Bukti:

Perhatikan himpunan dan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan

Sekarang perhatikan himpunan dan himpunan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Lihat juga

Referensi

  1. ^ a b Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability [Fondasi dari teori peluang] (dalam bahasa Inggris). New York, US: Chelsea Publishing Company. 
  2. ^ Aldous, David. "What is the significance of the Kolmogorov axioms?" [Apa signifikannya aksioma Kolmogorov?]. David Aldous (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 19, 2019. 
  3. ^ Cox, R. T. (1946). "Probability, Frequency and Reasonable Expectation" [Peluang, Frekuensi, dan Ekspektasi yang Masuk Akal]. American Journal of Physics (dalam bahasa Inggris). 14 (1): 1–10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764. 
  4. ^ Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference (dalam bahasa Inggris). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. 
  5. ^ Hájek, Alan (August 28, 2019). "Interpretations of Probability" [Interpretasi peluang]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 17, 2019. 
  6. ^ Ross, Sheldon M. (2014). A first course in probability (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-Ninth). Upper Saddle River, New Jersey. hlm. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384. 
  7. ^ Gerard, David (December 9, 2017). "Proofs from axioms" (PDF) (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019. 
  8. ^ Jackson, Bill (2010). "Probability (Lecture Notes - Week 3)" (PDF). School of Mathematics, Queen Mary University of London (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal November 20, 2019. 

Bacaan lanjutan